Тел.: (812) 643-77-67 | Mail: fit.herzen.conf@gmail.com

Поиск по сайту

Григорьев А. П.,
Храброва А. Н.,
Егоров В. С.

ГУАП, г. Санкт-Петербург

Элементы математического моделирования при проектировании обучающих систем


В статье рассматривается математическое моделирование различных задач присущих обучению. Рассмотрены различные модели и стратегии обучения, приведены алгоритмы, направленные на оптимизацию процесса обучения с целью повышения эффективности усвоения знаний.

Grigoryev A. P.,
Khabrova A. N.,
Egorov V. S.

SUAI, St. Petersburg, Russia

Elements of mathematical modeling in the design of training systems

The article deals with mathematical modeling of various tasks inherent in learning. Different models and training strategies are considered, algorithms are presented aimed at optimizing the learning process in order to increase the efficiency of mastering knowledge.

Для визуализации, более наглядного представления и понимания процессов, связанных с обучением, рассмотрим многокомпонентную модель обучаемого (ММО) и абстрактные «грубые» подходы к обучению, которые позволят формализовать данную задачу и осуществить ее решение с использованием «классического» математического аппарата.

Различные знания получаемые в процессе обучения усваиваются с различной прочностью и забываются с разными скоростями (как правило, это связано с психофизиологическими характеристиками обучаемых, а также с влиянием внешней средой вне места обучения).

При достаточно долгом изучении (или равномерном повторении уже пройденного) учебного материала вместе с ростом общего количества знаний происходит еще процесс «закрепления» (формируются устойчивые семантические (смысловые, логические) связи, позволяющие «всплывать» знаниям в момент их непосредственно возможного применения), иными словами полученные в результате обучения знания забываются медленнее.

Процесс усвоения и запоминания сообщаемой обучаемому информации состоит в установлении ассоциативных связей между новыми и имеющимися знаниями. В результате приобретенные знания становятся более прочными и забываются значительно медленнее.

Автором [1] предложена ММО, которая выражается системой линейных дифференциальных уравнений (рис. 1):

Рис. 1. Система уравнений, описывающая ММО

где U – уровень требований к процессу обучения, предъявляемый преподавателем, равный сообщаемым знаниям Z0, Z – суммарные знания обучаемого за весь период обучения, Z1 – самые «непрочные» знания с высоким коэффициентом забывания γ1 (гамма), а Z4 – самые «прочные» знания с низким γ4 (γi+1 меньше γi, i = 1, 2, 3). Коэффициенты усвоения αi (альфа) характеризуют быстроту перехода знаний (i-1)–ой категории в знания i–ой категории. Пока происходит обучение, k = 1, а когда оно прекращается k = 0. Коэффициент забывания рассчитывается как γi = 1/τi, где τi – время, в течение которого количество знаний i–ой категории уменьшается в e = 2,72… раза. Результат обучения характеризуется не только суммарным уровнем приобретенных знаний Z = Z1+Z2+Z3+Z4, но и коэффициентом «прочности»: Pr = (Z2/4+Z3/2+Z4)/Z. При изучении одной темы определенной дисциплины сначала растет уровень знаний Z1, затем постепенно происходит увеличение количества более «прочных» знаний Z2, Z3, Z4. При этом повышается прочность Pr.

При моделировании получаются результаты, представленные на рис. 2. Уровень требований преподавателя в течение каждого занятия остается постоянным, а уровень усвоенных знаний и их прочность возрастают.

Рис. 2. Моделирование ММО

Если преподаватель проводит занятия, в течение которых уровень требований растет пропорционально времени: U = a(t-t0)+b, то (при моделировании ММО) становится ясно, что во время перерывов и после обучения уровень «непрочных» знаний быстро уменьшается, а прочные знания забываются существенно медленнее [2].

При согласованном обучении уровень требований преподавателя может превышать знания обучаемого на величину, при которой у обучаемого не пропадает мотивация к учебной деятельности. Для нахождения эффективного пути обучения, соответствующего минимальным потерям энергии (потеря прочности знаний) у преподавателя и обучаемого, в качестве целевой функции рассматриваемой оптимизационной задачи, автором [1] предлагается использовать функционал вида (рис. 3):

Рис. 3. Функционал оптимизационной задачи

Нагрузка на обучаемого должна быть равномерно распределена по всем занятиям так, чтобы не было переутомления, а также потери мотивации. Поэтому для каждого занятия продолжительностью Δt нужно вычислять потери энергии Si = k(U-Z)Δt и сравнивать их с пороговым значением.

Если рассмотреть несколько занятий заданной длительности T, начинающиеся в фиксированные моменты времени ti, i =1, 2, 3…n, с учетом, что в течение каждого занятия уровни требований Ui остаются постоянными, то потенциально возможно подобрать такие Ui, чтобы уровень знаний обучаемого достиг заданного значения уровня усвоения знаний.

Для решения задачи обучения могут варьироваться уровни требований преподавателя при которых уровень знаний обучаемого достигает максимального уровня знаний, которые может передать преподаватель.

Рассмотрим процесс обучения в виде решения обучаемым N задач возрастающей сложности. Преподаватель проранжировал и сформировал задачи в порядке возрастания сложности и задает их обучаемому через заданные промежутки времени Δt. Если задача не решается, то обучаемого обучают, а затем снова предлагают решить такую же задачу. Существует функциональная зависимость, связывающая количество знаний обучаемого и время обучения. Автор [1] предположил, что сложность θi i-ой задачи равна количеству знаний Z, требующихся для ее решения. Преподаватель располагает некоторым количеством задач N в порядке возрастания сложности и задает их обучаемому через равные промежутки времени Δt. Если обучаемый не решил i-тую задачу, то преподаватель его обучает в течение времени Δt, а затем снова предлагает эту же или аналогичную задачу той же сложности θi. Если общее количество знаний Z больше или равно θi, то обучаемый решает задачу в течение времени Δt, количество знаний не увеличивается, но часть «непрочных» знаний становится «прочными». После этого преподаватель предъявляет ему (i+1)-ую задачу с более высоким уровнем сложности θi. Если у обучаемого знаний меньше чем θi, то он не может решить задачу сразу. Преподаватель в течение времени Δt объясняет материал, уровень требований U становится равным θi, тем самым знания у обучаемого растут. Затем обучаемому предлагается снова решить задачу. Занятия длительностью TЗ чередуются переменами продолжительностью TП, которые много больше Δt.

Для моделирования решения задачи можно рассматривать как случайный процесс, вероятность которого вычисляется по формуле Раша (рис. 4) [3]:

Рис. 4. Вероятность случайного процесса по формуле Раша

Рассмотрим задачу, когда обучаемый изучает несколько тем (N), и по каждой из тем преподаватель может решить различное число задач. Время обучения ограничено, а общее количество задач (M), которое решает обучаемый неограниченно. Коэффициенты усвоения тем зависят от уровней знаний Zi (i = 1, 2, 3, …, N). Все темы имеют одинаковую важность: V1=V2=…=VN=1. Необходимо найти такое распределение задач, при котором результаты тестирования в конце обучения максимальны. Забыванием при этом мы пренебрегаем.

Допустим, на решение одной задачи затрачивается время Δt, при этом вероятность решения обучаемым задачи данного типа повышается на Δp = a(1-p), где a – коэффициент научения. Уровень знаний Zi i-ой темы равен вероятности pi решения задачи по i-ой теме. В общем случае сложность задач i-ой темы зависит от уровня овладения предыдущих тем. При этом коэффициент научения ai, соответствующий i-ой теме, с ростом уровня знаний Zj (j меньше i) увеличивается (например, a3 = kZ1+0,1). В конце обучения проводится тестирование, его результат равен T = V1Z1+V2Z2+…+VNZN, где V1, V2, …, VN– коэффициенты важности, характеризующие степень значимости изученных тем. Необходимо найти оптимальную последовательность решения задач (функцию U(t)), при которой результат тестирования T в конце обучения максимален. Используем метод имитационного моделирования.

Для этого случайным образом перебираем различные пути изучения этих тем (по последовательности решения задач) и на каждом шаге выбираем тот, при котором T больше. Результатами оптимизации будут интервалы на основании которых принимается решение о том в каком временном промежутке следует решать задачи по всем представленным темам. Применяя на практике результаты моделирования можно повысить коэффициенты усвоения в несколько раза, тем самым результаты тестирования после выполнения того же числа задач становятся выше.

Из результатов моделирования можно сказать:
1. если изучение i-ой темы приводит к увеличению коэффициента усвоения j-ой темы, то сначала следует изучать i-ую тему, а затем j-ую;
2. если в выходном тесте в большей степени представлены задачи i-ой темы (то есть они имеют большую важность), то большую часть времени обучения следует решать задачи i-ой темы. Это приведет к более высоким результатам тестирования и повышению эффективности обучения.

Рассмотренные имитационные модели позволяют проанализировать различные ситуации, возникающие в процессе обучения, выявить и обосновать описывающие их закономерности.

Литература:
1. Майер Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. – Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net
2. Эббингауз Г., Бен А. Ассоциативная психология. – М.: АСТ,1998. – 528 с
3. Rasch G. Probabilistic Models for Some Intelligence and Attainment Tests /Expanded Edition, with Foreword and Afterword by B.D. Wright. Chicago: University of Chicago Press, 1980

Комментарии

  • Однопараметрические, 2-х и более параметрические модели Раша, Раша-Бирнбауна достаточно хорошо изучены и мне лично не понятно, что нового и актуального в них привнесли авторы данной статьи? Просто смоделировали данные модели?

  • Да, Вы правы, основная задача - визуализация, рассмотренных моделей, для большей наглядности и демонстрации тех или иных математических закономерностей и зависимостей, возникающих при организации обучающего процесса. Вторая, частная задача - популяризация математического моделирования, как элемента "ненатурного" эксперимента.

  • В данной статье, авторы не указывают программное обеспечение, которое было использовано для проведения моделирования (обычно указывают программу и языки программирования, использованные для моделирования). Также, я хотела бы узнать еще, какие именно Вы считаете ситуации, возникающие в процессе обучения, можно соотнести с Вашим моделированием и как повысить их эффективность?

  • Здравствуйте, уважаемая Наталья Степановна, с замечанием согласен, действительно "инструментарий" стоило бы указать. Начну с самого начала, в ГУАПе на кафедре "Аэрокосмических приборов и измерительно-вычислительных комплексов" в рамках одного из 3 фундаментальных направлений "Интеллектуальные обучающие системы и авиационные тренажеры" читается дисциплина "Интеллектуальные обучающие системы", в рамках практических занятий студенты изучают формы представления знаний, модели обучаемых, строят кривые обучения и забывания, изучают различные стратегии обучения и пр. Основной задачей было - визуализировать, для лучшего "Закрепления", изучаемый теоретический материал, посредством лабораторных работ, выполняемых "программно" (без использования лабораторных установок). Начинали мы писать данные модели на Pascal, так как еще в мою студенческую бытность всех первокурсников нашего университета в рамках курса "Информатика" целый год добросовестно этому обучали...Почему именно Pascal? а для того, чтобы студенты гарантировано смогли написать в рамках л/р программу, а не сказали бы как обычно: "А нам этого не давали, мы этот язык ни в школе ни на 1 курсе не изучали"...Пришлось бы тогда еще и курс по языку программирования читать, а так только краткий Тезаурус по функциям в методичке... Позже, когда наша кафедра начала тяготеть к средствам имитационного моделирования, графического программирования и виртуального эксперимента - мы перешли на MathLab и LabView, в нашем конкретном случае на MathLab, точнее на его урезанную бесплатную версию SciLab (опять таки из-за студентов, которые говорили, что "не получается "дома" скачать данный лицензионный продукт бесплатно")...Сейчас пробуем переписать все под С, так как планируется его углубленное изучение. Раньше отдельного курса по данному языку не было, его изучали в рамках курса "Микроконтроллеры и микропроцессорная техника", часов естественно не хватало)... В части возникающих в обучении ситуаций…Тут понятно, что присутствуют как и в любом моделировании разные уровни абстракции (соотношение глубины моделирования и адекватности)…Ну стандартно – это параметрические модели Раша, являющиеся классикой и демонстрирующие преимущества Item Response Theory (IRT), которая в переводе на русский язык получила название «Теория моделирования и параметризации педагогических тестов» (ТМППТ или ТППТ), также данное моделирование достаточно корректно представляет параметры кривых научения и забывания (Эббингауза). В первую очередь это носит теоретический, вспомогательный характер, позволяет более качественно прочувствовать и студентам и ученым, занимающимся обучением основные зависимости, представить себе физику процесса обучения, физику процесса запоминания и утери знаний! В части повышения эффективности, опять же смотря о каком критерии вы говорите…Тут требуется пояснение, либо Вы сокращаете время на подготовку при каком то фиксированном среднем балле по группе студентов, либо повышаете среднюю успеваемость по группе…И в том и другом случае элементы моделирования дадут Вам усредненную картину по группе и помогут принять решение о выборе той или иной стратегии в обучении…Конечно это не панацея, но определенная информация для размышлений!

Оставьте свой комментарий